De la Geometría Básica a los Politopos Regulares Convexos (Parte 4 de 4)

¡Por fin! ¡El cuarto post sobre geometría, prometido desde hace tanto!. Aunque parecía que el día nunca llegaría, está aquí, sin embargo, no será el último... Debido a que la cantidad de material acumulado es mayor de la que pensé, decidí terminar este 4to. Post incluyendo solo una parte y dejé el resto para crear un nuevo hílo (espero que solo sean uno o dos post mas). De esa manera, respetaré las 4 partes planteadas originalmente, a la vez que no haré el post mas extenso ni los dejaré esperando mas tiempo, pero tampoco dejaré fuera la información valiosa. De hecho, estos cuatro post vendrían a ser algo así como una introducción a lo que realmente quería decir desde el principio, y entonces si, podremos entrar de lleno al tema que me motivo escribir esto.

Por cierto, ¿Ya notaron que este es el Post n° 100? ^o^/~~~~

Poliedros Desdoblados
Antes que nada, había quedado pendiente una parte desde el post pasado, así que abordémosla brevemente. ¿Se acuerdan cuando en la primaria o secundaria les pedían que hicieran figuras geométricas? Si, esas que había que dibujarlas en papel o cartulina (o comprarlas), recortarlas y pegarlas… Bueno, esa es otra manera de ver un poliedro en plano y que no es una proyección. Al ‘desdoblarlos’ (desarrollo) podemos ver todas sus Caras al mismo tiempo, contarlas, ver como están conectadas entre si, etc. y esto nos ayuda a entenderlos mejoraunque tiene el inconveniente de que algunas aristas y vértices aparecen duplicados o triplicados. Por ejemplo, en el Tetraedro, los tres puntos azules conectan entre sí porque en la figura 3D son un solo punto; del mismo modo, cada Borde adyacente al 'punto 1' aparece representado dos veces.
Otra cosa que notamos es que mientras las caras del Cubo son Cuadrados, las de los otros polítopos son Triángulos. Esto es importante porque así como todos los objetos 0D son puntos, y todos los objetos 1D son segmentos (de distinta medida), en 2D tenemos infinidad de formas, así que al nombrar las caras de un poliedro hay que señalar también que forma tienen. Por ahora no ahondaré mas en ello; igual que con lo de las proyecciones, lo retomaré mas adelante cuando sea pertinente.

El tercer post finalizó con una imagen que tenía unos signos de interrogación en la parte de abajo. Vamos a ver cual es la respuesta a la primera de estas incógnitas.


¿Qué es la Cuarta Dimensión?
El término se ha utilizado de muchas maneras. En ficción, a veces se considera como un plano existencial paralelo al nuestro, una realidad alterna, como si existieran muchas realidades, ubicando la nuestra como la tercera de estas, siendo similar a algunos conceptos religiosos y paranormales, como el cielo y el infierno o la existencia de fantasmas. Aunque estas realidades coexisten, y según ciertos conceptos, comparten una ubicación espacial nunca se tocan entre si. Es como si en un espacio determinado existieran criaturas de varios colores, donde cada color correspondiera a un plano y las criaturas solo podrían ver, escuchar, tocar y percibir a las otras que fueran del mismo color y no habría manera de percatarse de la existencia de todas demás. Este concepto es distinto al que se maneja en física y las matemáticas teóricas.

En la actualidad, al preguntar al respecto, muchos contestarán sin dudar que la cuarta dimensión es el tiempo, concepto que se desprende de la teoría de la relatividad propuesta por Albert Einstein, pero pocos entienden el por qué. Todos los cuerpos con masa del universo producen una deformación en el continuo espacio-temporal, de modo que las rectas dejan de ser rectas, las paralelas dejan de ser paralelas y la 'duración' del tiempo varía en función del punto de referencia del observador. A su vez, esta distorsión provoca que la trayectoria de los objetos y las ondas se curve. Este efecto es a que lo llamamos comúnmente con el nombre de “Campo Gravitatorio” y para poder apreciarlo a veces es necesario tomar como referencia la posición de los objetos o partículas en distintos momentos, es decir, a través del tiempo.




También existen otras teorías que manejan la posibilidad de existencia de dimensiones adicionales, tal como la de Kaluza-Klein que propone una quinta dimensión espacial “compactada” que explicaría los campos electromagnéticos como un efecto geométrico de esta, o la teoría del Universo Membrana de Keeton-Petters que habla también de una cuarta dimensión espacial.

En nuestro caso, la cuarta dimensión a la que nos referiremos es a una hipotética dimensión espacial adicional, un 4to. Eje Ortogonal de tipo Euclidiano/Cartesiano como los que ya hemos visto. Esto lo menciono porque también hay espacios No Euclidianos, como los esféricos, elípticos e hiperbólicos donde los 5 postulados básicos de la Geometría Euclidiana no aplican del todo. En estos espacios los objetos tienen propiedades distintas. Por ejemplo, un cuadrado no necesariamente tiene ángulos de 90°, sino simplemente puede ser cualquier polígonos con 4 lados y 4 ángulos iguales.


Todos estos temas, incluido el estudio de las dimensiones espaciales adicionales, fueron considerados por mucho tiempo como meras curiosidades u ociosidades matemáticas, pero recientemente han cobrado relevancia y se han descubierto diversas aplicaciones a estos principios. La misma Teoría de la Relatividad, en relación a lo ya mencionado, propone que nuestro universo no es euclidiano.

4D

Ahora si. ¡Este es el punto al que quería llegar!. Hasta ahora, no hemos hecho más que repasar aspectos de la naturaleza de espacios y objetos con los que convivimos cotidianamente, y todo ello no era otra cosa sino prepararnos para entender algo que es ajeno a nuestra naturaleza, pero que no por ello deja de ser fascinante.

Las reglas que hasta ahora hemos visto siguen siendo válidas, así que lo que sigue es extrapolarlas para conocer y entender la la naturaleza de los Espacios y Objetos 4D. De este modo, el primer paso sería definir un espacio 4D, el cual, en efecto, se genera al desplazar un Volumen en una nueva dirección, lo cual podemos representar así:

o así:

En este caso, representé el desplazamiento de dos maneras, una fue ‘lateralmente’ y la otra fue hacia ‘adentro’. Pero recordemos que estos son solo representaciones, no la cuarta dimensión en realidad.

Como este eje es desconocido o irreal para nosotros, puede ser un tanto difícil de visualizar e imaginar para nuestro cerebro, por eso comúnmente necesitaremos recurrir a más representaciones distintas, al menos al principio. Además, recuerden que estamos interactuando mediante un espacio 2D (frente del monitor) y ahora no solo tendremos que representar 3, sino 4 dimensiones, por lo que inevitablemente, perderemos dos en el proceso. Es ahí donde radica la importancia de comprender los conceptos de proyección o el ‘desdoble’ de los poliedros, porque vamos a tener que hacer lo mismo con los objetos 4D.

A veces, las imágenes estáticas no son suficientes para compensar la pérdida de estas dos dimensiones espaciales, pero podemos hacer entendible esta información ‘añadiendo’ una dimensión no espacial: El Tiempo, es decir, mediante animaciones. Por lo tanto, una animación 2D en realidad es una representación 3D, pues tendremos las dimensiones x,y,t. El tiempo es una dimensión de naturaleza distinta, pero aun así nos ayuda a visualizar aspectos de estos objetos que de otro modo serían imposibles.

A este nuevo cuarto eje espacial lo llamaremos ‘w’, de modo que ahora tendremos w,x,y,z.

Como les decía, la mayoría de las respuestas las encontraremos mediante analogías con lo que hemos visto hasta ahora, así, por ejemplo, este eje w también es perpendicular a los otros tres ejes, es decir, todos forman ángulos rectosentre si. Y si, en la representación no parecen ser rectos, pero eso también pasa con los objetos 3D proyectados en superficies planas. De hecho, un objeto 4D tampoco puede representarse con todas sus propiedades en un espacio tridimensional. Recordemos que una proyección es la representación de un objeto de 'n' dimensiones en un espacio 'n-1', es decir, es solo solo como la sombra o un corte del objeto real, por lo que en este caso, un objeto 4D con iluminación 4D proyectaría ‘sombras tridimensionales’.

Otra curiosidad de esto es que si vivieramos en un espacio lineal (1D) solo podríamos movernos atrás o enfrente y lo único que veríamos sería un punto (0D), si viviéramos en un espacio plano (2D), lo único que veríamos sería una línea (1D), pero como vivimos en un espacio volumétrico (3D) vemos en 2D. Es decir, nuestra vista transmite información del tipo "n-1". Entonces, en un espacio 4D ¿veríamos en 3D?

Otra forma de definir 'Dimensión' es como el "número de direcciones distintas e independientes necesarias para alcanzar cualquier punto de un objeto", en este caso, 4. A esta nueva dirección algunos le llaman Spissitude y así como en el eje vertical uno puede desplazarse en dos sentidos (arriba o abajo) en esta cuarta dimensión uno se puede mover en los sentidos ana y kata. De este modo, teoricamente, usando esta dirección un ser tetradimensional podría ver a través de las cosas o entrar y salir de lugares que para nosotros se consideran cerrados. Es como si dijéramos que un parque o un panteón está cerrado cuando en realidad no hay un techo que lo cubra, y por lo tanto, en teoría, uno podría entrar y salir volando o saltando la barda, o al menos, mirar hacia adentro por arriba de esta. Así, un ser 4D posiblemente podría sacar el vino de una botella sin quitarla el corcho o vaciar una caja fuerte sin siquiera abrir la cerradura.

Esta idea es la que manejan algunos científicos y retoman algunos escritores de ficción al usar el término “Hiperespacio”; en lugar de viajar a través de en las 3 dimensiones conocidas se toma un atajo por una 4ta. Dimensión. Es como si en lugar de viajar por fuera de un cubo, dándole la vuelta, viajáramos por dentro de este.

Los Objetos Tetradimensionales no solo se componen de puntos, líneas y caras, sino que también contienen a su vez varios Objetos o Lados 3D, a los que llamaremos Celdas. Por supuesto, esto es más fácil de entender utilizando Politopos, y el nombre que corresponde a los Politopos de Cuatro Dimensiones es: Polícoros... y ¿cuáles politopos hemos estado viendo hasta ahora? ¡Así es!:

Simplex 4D
Aplicando la fórmula ‘n+1’ y sabiendo que los simplex siempre son autoduales, tenemos que el Polícoro más sencillo tendrá 5 vértices y 5 lados n-1, es decir, 5 celdas, de ahí su nombre: Pentácoron. Y así como las caras de un Tetraedro son Triángulos (simplex 2D), cada una de las 5 celdas de un Pentácoron es un Tetraedro.

He aquí la animación 2D de una proyección 3D de dicho objeto 4D... XD

Hagámoslo mas comprensible, y veremos que no es mas que un Tetraedro cuyos vértices han sido unidos a un nuevo vértice equidistante a los demás, pero sobre un 4to. Eje. De modo que 4 nuevos tetraedros surgen de esta operación.

Por la misma simplicidad de estos objetos, todos sus lados ‘n-1’ son adyacentes entre si y no existen lados opuestos o paralelos.
Veamos:

- En un Triangulo cada lado 1D es adyacente a los demás y no tiene ninguno paralelo u opuesto (1+2=3)
- En un Tetraedro cada lado 2D es adyacente a los demás y no tiene ninguno paralelo u opuesto (1+3=4)
- En un Pentacoron cada lado 3D es adyacente a los demás y no tiene ninguno paralelo u opuesto (1+4=5)

Y seguramente algunos dirán... bueno, ¿donde están los 5 tetraedros? Yo no veo ni a la madre Teresa de Calcuta ni nada de nada... Bueno, hagamos lo mismo que hicimos al inicio del post con los polítopos 3D:

Al igual que al ‘desdoblar’ un poliedro, al desarrollar un polícoro algunas de sus partes se multiplican y hay que aclarar esto para no caer en confusiones. El quinto vértice añadido aparece en esta representación 4 veces en posiciones alejadas, aunque en realidad solo es un punto, mientras que los demás vértices aparecen repetidos, pero en posiciones cercanas. Del mismo modo, las aristas aparecen triplicadas y sus caras aparecen duplicadas... pero ¿porque aparece 4 veces cada vértice?

La respuesta es: porque cada Tetraedro que compone el pentácoron se forma a partir de 4 de los 5 vértices, y existen 5 posibles combinaciones de estos:
- ABCD (excluyendo E)
- ABCE (excluyendo D)
- ABDE (excluyendo C)
- ACDE (excluyendo B)
- BCDE (excluyendo A).

Interesantes relaciónes… si se fijan, "[el número de veces que aparece cada lado] + [el número de dimensiones del lado] = ‘n’". Extrapolándolo, nos daremos también cuenta que cada vértice une 4 lados 3D, cada arista une 3 lados 3D y cada cara une 2 lados 3D. Este es el tipo de curiosidades que quería hacer notar, es decir, no solo hablar de los objetos 4D, sino las propiedades que se presentan sin importar el número de dimensiones del objeto.

Otroplex 4D
Un poco más difícil de visualizar es esta figura llamada Hexadecacoron. Se le nombra así porque contiene 16 celdas (lados 3D) en forma de tetraedro, y aplicando la relación “2n”, deducimos que posee 8 vértices. El número de sus vértices es 24 y de sus lados 2D es 32, los cuales son triángulos. Aquí notamos una peculiaridad de los Politopos de cruce: siempre se componen de Simplex n-1, en este caso, de Tetraedros. Por su parte, los Simplex siempre se construyen a partir de Simplex, por lo tanto, un ortoplex siempre se podrá dividir en Simplex de cualquier número inferior de dimensiones. La animación del Ortoplex es esta:

A continuación, datos curiosos sobre la relación entre los vértices de los Politopos de Cruce:

(redoble de tambores)

- En un Rombo cada Vértice está a una arista de distancia de otros dos, pero hay uno del que no, que es paralelo y opuesto (1+2+1=4) [A es opuesto a C, y B es opuesto a D].
- En un Octaedro cada Vértice está a una arista de distancia de otros 4, pero hay uno del que no, que es paralelo y opuesto (1+4+1=6) [A es opuesto a D, B es opuesto a E, y C es opuesto a F].
- En un Hexadecacoron cada Vértice está a una arista de distancia de otros 6, pero hay uno del que no, que es paralelo y opuesto (1+6+1=8) [A es opuesto a E, B es opuesto a F, C es opuesto a G, y D es opuesto a H].

No ahondaré masen los Ortoplex, porque en realidad, a los que quiero dedicarles mas espacio es al Polícoro de medica, pero al ser Politopos duales, automáticamente, las relaciones entre los vértices de uno son las relaciones entre los 'lados n-1' del otro y viceversa, así que para no duplicar la información y parecer manual de Windows, hasta aquí dejo este polícoro solo quería que lo conocieran en persona.

Polícoro de Medida
Hemos llegado a la cima, a la cúspide… a la parte más alta de estos post con esta figura geométrica que fue la que me cautivó y me motivó a seguir leyendo e incluso escribir al respecto: El Teseracto.

Esta figura es el análogo 4D del Cubo. Posee 16 vértices, 32 aristas, 24 caras cuadrangulares y 8 celdas cúbicas. Todos sus ángulos son rectos y todos sus números son divisibles entre dos, es decir, cada elementos del mismo tiene un opuesto. Me lo topé casualmente cuando buscaba una figura geométrica en la cual basar parte de un proyecto en el que estoy trabajando y lo que encontré me agradó más de lo que esperaba.

Podría parecer que no todos los ángulos de las aristas del teseracto son perpendiculares, pero recordemos que no es más que una representación, una proyección. En la animación parece que el objeto se voltea hacia fuera o se deforma, pero en realidad, no es más que una rotación en el eje w. Idealmente, cada arista es paralela a alguno de los ejes, por eso, en cada vértice concuerdan 4 aristas (una por eje). En otras palabras, en cada Politopo de medida, El número de vértices adyacentes a cualquier punto es igual al número de dimensiones ‘n’ y cada vértice tiene un opuesto que es el más lejano. En 0D, como solo es un punto, no hay que analizar, en 1D solo son 2 puntos separados una unidad de distancia, en 2D son 4, por lo tanto, uno está a una unidad en 'x' y otro a una unidad en 'y'… el lado opuesto está a una distancia de (1 en x) + (1 en y)… para cada dimensión, se agrega un nuevo valor/combinación de dimensiones.

Tenía pensado dejarles una tarea al respecto, pero por ahora no ahondaré mucho en sus propiedades, porque le dedicaré al menos un post completo a ello. Como es de suponerse, un Teseracto se obtiene al desplazar un cubo en un 4to. Eje, esto genera las 8 celdas cúbicas que lo ‘envuelven’. Su representación más común es como dos cubos anidados, pero no es la única. Para entender mejor de donde sale esta proyección veamos la siguiente analogía con un cubo.

Al ver de manera frontal un cubo, solo vemos un cuadrado, pero al ver del mismo modo un teseracto, lo que vemos es parecido a ver a un cubo en perspectiva. Al rotarlo un poco, el cubo aparece en su representación más común, al igual que el teseracto. Las demás representaciones las veremos después.

Los Politopos de Medida son mis favoritos porque su representación es equivalente a la forma en la que se usa para representar el desplazamiento de las dimensiones. Como ya lo mencioné anteriormente, son las figuras más básicas bajo esta definición.

Así como los Simplex siempre se componen de Simplex los Politopos de Medida contienen siempre Politopos de Medida, de dimensiones inferiores, y a su vez, como son Duales de los Ortoplex, la relación entre los vértices del Hexadecacoron es la misma que la relación entre las celdas de un Teseracto.

Si aun les cuesta trabajo entender donde están los 8 cubos del Teseracto, tal vez sea mejor si lo vemos “desdoblado”.
Igual que con el pentácoron, algunos de sus vértices, aristas y caras aparecen más de una vez, por ejemplo, en esta imagen, los vértices aparecen 4 veces. Ocho de estos forman parte del cubo interno y aparecen contiguos (vean el vértice “1”), pero los otros 8 vértices aparecen ‘dispersos’ en el resto de los cubos. (vean los vértices “B” y “D”). Unan las cuatro posiciones de cada vértice en una sola y entenderán mejor la estructura de la figura.

En resumen…
Largo fue el viaje y por momentos difícil (al menos para mi +_+) pero hemos concluido (al menos por ahora) así que a manera de resumen, les dejo la lista de los nombres de los diferentes Politopos:

0D – Punto
1D – Línea
2D – Polígonos
3D – Poliedros
4D – Policoros

Por supuesto, también aquí está completa la tabla completa con el número de lados de cada polítopo que vimos.

... y el gráfico completo con las interrogantes gráficas resueltas.

Por supuesto, también podríamos hablar de Politopos de 5, 6 o 7 dimensiones, pero creo que el punto que quería tratar (Politopos multidimensionales) ya quedó cubierto, y si alguien quiere seguir indagando, ya tiene las bases para hacerlo.

Schläfli (¡Salud!)
Por último, pero no menos importante, quería mencionar lo que se conoce como Símbolo de Schläfli el cual, según Wikipedia: Es una notación simple que proporciona un sumario de algunas propiedades importantes de un politopo regular. Debe su nombre al matemático suizo Ludwig Schläfli quién hizo importantes contribuiciones a la geometría y a otras áreas de la matemática.
Me gustaría ahondar en el tema, pero por un lado, aun no lo entiendo del todo y por otro, me extendería aun mas, así que solo lo menciono y se los dejo de tarea para que lo consulten :P.

Para despedirme, solo les aviso que los siguientes post relacionados estarán dedicados a estas maravillosas figuras geométricas llamadas Polítopos de Medida, en especial a los Teseractos.

Espero que hayan disfrutado leyendo estos posts tanto como yo escribiéndolos.
^o^

MAS INFORMACIÓN:
The Fourth Dimension
Dimensions (Español)
Fragmento de "Cosmos", con Carl Sagan (En Inglés) – Sobre las Proyecciones de los objetos 3D y 4D
Otra explicación de la Cuarta dimensión (En Inglés)
The Fourth Dimension

Y ya que Izcoatl preguntaba sobre alguna actividad lúdica relacionada al tema, les dejo lo siguiente:

¿Ya resolviste una y otra vez el cubo de Rubbick? (yo aun no lo resuelvo x_x)
¿Buscas mas reto? He aquí un Teseracto de Rubbick para poner a prueba tu habilidad.

… y dos recomendaciones de letura (que tampoco he leido...XD)

Flatland - A romance of many dimensions: Novela publicada en 1884 y escrita por Edwin Abbott Abbott. Parece que la obra completa en inglés puede leerse en esta dirección. También existe la traducción al español bajo el nombre: Planilandia: Un Romance en muchas dimensiones.

Spaceland: A Novel of the Fourth Dimension: Escrita por Rudy Rucker, y según entendí, publicada en el 2003. Si es así, dudo que haya traducción al español. En esta obra, el protagonista se encuentra con seres tetradimensionales que poseen poderes incomprensibles para los seres tridimensionales como nosotros.

Notas:
- No soy matemático ni nada por el estilo. Simplemente es un tema que me llamó la atención, y me motivó a escribir sobre él, así que cualquier corrección, aclaración o complemento son más que bienvenidos. Gracias.
- Toda la información la obtuve del internet, las mayoría de las imágenes las generé yo, basado en esta misma información, las que las obtuve de otro lado están linkeadas desde su fuente original.
- Si les gustaron las imágenes del post, estoy interesado en trabajar haciendo diseño gráfico para científicos y material didáctico a varios niveles, así que dejen su comentario.
- Dedicado a los buenos profesores que he tenido en mi vida, no necesariamente de matemáticas, sino en general, aquellos que más que profesores han sido mis maestros. Los cuales no solo compartieron conmigo parte de su conocimiento, sino que me enseñaron a aprender y a buscar por mi cuenta.