Politopos de Medida (parte 1)

16

El número mágico, es par, tiene raiz cuadrada exacta y su raiz cuadrada tiene raiz cuadrada exacta. 4 veces divisible entre 2. Por algo, el sistema numérico hexagesimal tiene diversas aplicaciones, por ejemplo, en informática.

No me malentiendan, no intento hacer menos a los demás. No es el único número con propiedades particulares, cada número tiene algo que lo hace especial, como los números primos o las sucesiones como la de fibonacci, pero en lo personal, el 16 se ha convertido en uno de mis favoritos; no necesariamente desplazando al 8, sino complementándolo, porque 16 no es mas que un par de ochos. El número 8 tiene la desventaja de que se puede dividir en dos un número impar de veces, pero con el 16 el inconveniente queda resuelto. En lo personal, debido a mi predilección por la comunicación visual, no puedo evitar pensar en representaciones geométricas de estos números; en el caso del 8, puede representarse bidimensionalmente con un octágono o una estrella de 8 puntas, pero creo que la figura que mejor lo representa es un cubo, puesto que cada división/multiplicación por dos se puede asociar a un eje ortogonal… ¿y para el 16? Bueno, como el número es cuatro veces divisible entre dos, necesitaríamos 4 ejes, así que la figura que elegí para representarlo es… ¡Exacto!: Un Teseracto… y claro, no pude evitar la tentación de ponerme a jugar con él un rato para conocerlo mas a fondo.

Fascinación por la belleza de lo inalcanzable

¿Por qué tanta insistencia en las proporciones numéricas y geométricas? Porque en gran medida, la belleza se deriva de la armonía y estas figuras tienen un alto grado de simetría, la cual es una forma (mas no la única) de armonía.

En el último post de geometría escribí un poco acerca del tesseracto, pero no lo suficiente. Hablé brevemente de sus propiedades y mostré una imagen de la figura desdoblada, pero no las expliqué muy a fondo, así que continuemos desde ese punto.

Retomando los datos de la tabla, un teseracto contiene 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadrangulares, 32 Bordes y 16 Vértices. Esta figura se puede representar bidimensional y tridimensionalmente de varias maneras, pero la manera mas común es como dos cubos anidados, donde la dirección ‘hacia adentro’ representa la 4ta. Dimensión espacial, pero no olvidemos que en realidad, todas las líneas que parten de un punto son perpendiculares entre si…

¿Les gustan los estereogramas? A mi sí, aquí les va uno de un teseracto que encontré en wikipedia. Aunque no lo parezca, cada volumen que se aprecia en la figura, es un cubo.


Sin embargo, aunque el acercamiento es bastante interesante, no es muy práctico para estudiarlo, por ello se recurre con frecuencia al desarrollo de la figura como un grupo de 8 cubos dispuestos en forma de ‘t’ tridimensional.

Al ‘desdoblar’ o desarrollar los poliedros nos damos cuenta que es imposible mantener unidas todas sus caras en un espacio bidimensional. Forzosamente, para mantener esa relación necesitamos pasar a un espacio tridimensional. Ejemplifiquemos gráficamente con un cubo:

Lo mismo pasa con los objetos tetradimensionales, aunque contienen varias celdas, es imposible construirlos realmente en un espacio 3D. En el caso del teseracto, este contiene 8 cubos, pero la forma en que se interconectan es imposible de representar tridimensionalmente, por eso es que se recurre a esta figura ‘desdoblada’ para representarlo.


Si lo vemos con detenimiento, nos daremos cuenta que es muy similar a la figura del desarrollo de un cubo.

Un cubo tiene 6 lados ‘n-1’, es decir, 6 caras cuadrangulares. Cada cara comparte un borde con otra cara, lo cual, quiere decir que cada cara será adyacente a otras 4, pero habrá una que con la que no colindará, y que es su opuesta y paralela… esta relación es la misma que hay entre los vértices de un octaedro (recordemos que son politopos duales).

En el caso del teseracto, sus lados ‘n-1’, es decir, cada celda, son cubos.; en total, contiene ocho. En este caso, cada cubo comparte con otro 1 cara, y como cada cubo tiene 6 caras, colindará con 6 cubos, lo cual quiere decir que, de igual modo, nos sobrará un cubo con el que no colindará, que será su opuesto y paralelo. En resumen, en cualquier politopo, sus lados “n-1”, colindan con los demás lados “n-1” a través de sus lados “n-2”, pero en los politopos de medida, a cada lado n-1 corresponderá uno y solo uno con el que no colinde, y que será su opuesto y paralelo… Y esto aplica también al cuadrado: Sus lados n-1 son sus bordes, que se conectan entre si mediante vértices, a cada borde se unen dos, y el 4to. Será su opuesto paralelo.

Este es solo un ejemplo de las curiosidades que uno encuentra al revisar la estructura de un politopo de medida. Veamos por ejemplo, la relación entre Lados 0D, es decir, los vértices.

Relación entre vértices [Lados 0D]
Cualquier politopo puede ser analizado desde la perspectiva de la Teoría de los Grafos, que es un área de las matemáticas que estudia las propiedades de los grafos, conjuntos no vacíos de objetos, llamados vértices o nodos, que están unidos entre si a través de caminos, llamados aristas. En otras palabras, conjuntos de puntos conectados a través de líneas. Aplicado a estas figuras, tendremos que un polítopo sería un grafo, compuesto por nodos, que podrían ser sus vértices, conectados por aristas, es decir, sus bordes… pero también podríamos establecer sus caras o bordes como nodos y la interconexión con sus similares como aristas de un grafo y de ahí desprender toda una serie de datos interesantes.

Las áreas de aplicación de la teoría de grafos son diversas, por ejemplo, las redes computacionales o los sistemas de archivos. Por lo regular, se busca crear recorridos lo mas eficientes posibles, es decir, cruzando la menor cantidad de aristas y nodos. Como las propiedades de interconexión entre nodos no tienen que ver necesariamente con el tamaño o forma de las aristas, podemos decir que existe una estrecha relación entre está área del conocimiento y la topología (tema del que próximamente escribiré).

En el caso de los Politopos de Medida, me puse a revisar la relación de adyacencia entre sus vértices, es decir, cuales están a una arista de distancia, a dos, a tres, etc…

En el caso del cuadrado, solo tenemos 4 vértices (nodos); cada uno de ellos tiene, al igual que sus lados, adyacencia con dos vértices, y hay uno que es opuesto, que está a dos aristas de distancia. Otra forma de decirlo es que para cada punto, hay dos que están a una unidad de distancia, sobre un eje (‘x’ o ‘y’), mientras que hay un punto que está a 2 ejes de separación (‘xy’).

De igual modo, para el caso del cubo, como tenemos 3 ejes o dimensiones, para cada vértice tendremos 3 puntos a un eje de distancia (‘x’, ‘y’, ‘z’), pero ahora, tendremos 3 mas que estarán a dos ejes de distancia (‘xy’, ‘xz’, ‘yz’) y uno mas que estará a tres ejes de distancia (‘xyz’), dándonos en total los 8 vértices que contiene el cubo.

Para el teseracto, la operación que hay que realizar es la misma, pero el resultado debe ser 16 vértices. El primero es el vértice de partida, que está a ‘0’ ejes de distancia, luego, serán 4 mas a un eje (‘w’, ‘x’, ‘y’, ‘z’), 6 mas a dos ejes de distancia (‘wx’, ‘wy’, ‘wz’, ‘xy’, ‘xz’, ‘yz’), 4 mas a tres ejes de distancia (‘wxy’, ‘wxz’, ‘wyz’, ‘xyz’) y por último, uno mas a cuatro ejes de distancia (‘wxyz’).

Por supuesto, aunque hemos visto Politopos de medida hasta de cuatro dimensiones, teóricamente podríamos trabajar con cualquier número de ejes. He aquí una tabla con la relación entre vértices de los Politopos de medida.


Tal vez para algunos esta tabla les parezca familiar, y de hecho, lo será. Los valores que contiene forman parte del Triángulo de Pascal. ¡¡Aaaah, verdad!!

Por supuesto, esto es en el caso de que solo nos desplazáramos de un vértice a otro a través de las aristas, es decir, un eje a la vez. En ese caso, la distancia entre dos puntos sería la suma de la longitud de dichas aristas, pero no siempre es así. Para desplazarnos de un punto a otro de un plano podemos movernos en dos direcciones simultáneamente y para hacerlo en un volumen, en tres y por lo tanto, en un espacio tetradimensional serían 4.

Para terminar por el día de hoy, les dejaré un problema de tarea, basado en estas relaciones. Para resolverlo, solo necesitan conocer el teorema de Pitágoras y utilizarlo de la manera correcta.

Ya vimos que a cada vértice de un politopo de medida corresponde otro opuesto que es el más alejado geométricamente hablando. Por ejemplo, en el cuadrado siguiente, si nombramos a los vértices ‘A’, ‘B’, ‘C’ y ‘D’, el opuesto de ‘A’ será ‘C’ y el opuesto de ‘B’ será ‘D’.

Ahora bien, en dado caso que cada lado del cuadrado mida una unidad (‘AB’=1, ‘BC’=1, ‘CD’=1, ‘DA’=1) ¿Cuánto mide ‘AC’? (o ‘BD’). Bueno, el teorema de Pitágoras dice que si ‘ABC’ es un triángulo rectángulo, entonces: c²=a²+b²

Despejando…
c² = (1)²+(1)²
c² = 1+1
c² = 2
c = √2

Ahora bien, si los lados del siguiente cubo siguen midiendo una unidad por lado, la longitud de 'AC' seguirá siendo "√2", al igual que 'DE' o 'FH', pues están a dos ejes de distancia. Establecido esto...

Y para el siguiente Teseracto:

La respuesta es menos complicada de lo que parece.

La siguiente clase (:P) les doy la respuesta y terminaremos con las relaciones entre lados de los Politopos de Medida.