Proporciones en conjuntos de elementos visuales.

Algo que, como diseñador gráfico, me ha sucedido en varias ocasiones es que necesito acomodar varios logos (u otros elementos gráficos) juntos, dentro de un espacio; lo cual sería fácil si todos tuvieran más o menos la misma forma o la misma proporción entre sus lados. Por ejemplo, que todos fueran cuadrados:

Pero lo más probable es que no sea así. Es decir, cuando reunimos o recibimos los archivos nos damos cuenta de que son de diferentes formas y tamaños. Algunos tienen una proporción más o menos cuadrada pero otros son alargados o anchos… 

Y entonces, se puede volver una monserga asignarles un tamaño apropiado a cada uno para que se vean equilibrados y no parezca que unos son más grandes o más importantes que los demás… Porque, claro, si simplemente los queremos meter dentro de ‘una caja’ o tratamos de homogeneizar su altura o anchura va a pasar esto:

Y al final, lo más común es que terminemos recurriendo al ‘tanteómetro’, que si,  nos saca del apuro pero ¿qué pasa si queremos una solución más formal? ¿cómo puedo determinar a qué tamaño debo escalar un elemento gráfico para que se vea proporcionado con los demás?

Bueno, como en estos días me tocó hacer de nuevo esta operación, me decidí a buscar una fórmula que me permitiera calcular el tamaño que le debo dar a cada logo.La respuesta es:

Ok... antes de explicar cómo se utiliza y de donde salió debo aclarar que no investigué si esta fórmula o alguna similar ya se utilizan con este propósito o si existen otros métodos alternos. Simplemente, me pareció una pregunta interesante y me dio curiosidad explorar por mi cuenta para ver si la idea que tenía en mente me arrojaba una solución satisfactoria, y si, si lo fue... bueno, es funcional hasta cierto punto, pero no es problema de la fórmula, sino por otros factores que mencionaré más adelante; pero en concreto, la respuesta a la pregunta específica que me hice si la encontré, y de hecho, es bastante sencilla. Pero bueno, decidí compartirla aquí por si le resulta de utilidad a alguien más.

¿Cómo se utiliza?

Para utilizarla, solo es necesario asignar los valores a, b, x y a'.

Partiendo del elemento gráfico que queremos escalar, su anchura y altura serán los valores a y b.

El valor x será la medida de referencia a la que lo queremos cuadrar. Es decir, si nuestro logo fuera cuadrado lo escalaríamos a ese tamaño, pero como no lo es, tenemos que encontrar un rectángulo equivalente. 

El valor a' es el dato que buscamos averiguar, en este caso, queremos saber cuanto debe medir el lado a de nuestro objeto al escalarlo.

Con la fórmula solo obtenemos la longitud de uno de los lados, porque si escalamos el objeto proporcionalmente con cualquier herramienta de edición, con introducimos la medida de uno de los lados, automáticamente obtenemos la del otro, pero si queremos averiguar diréctamente la medida del otro lado, es decir, b', simplemente hay que invertir los valores a y b en la división:

EJEMPLO

Si el logo que queremos escalar mide 400 x 246 unidades (pixeles o milímetros o lo que sea): 

y el cuadrado que estoy tomando como referencia para mi nuevo tamaño mide 160 x 160 unidades:

La pregunta sería: ¿a qué tamaño debo escalar mi logo para que quede en proporción con el cuadrado?, y la respuesta, utilizando la fórmula, sería:

Por lo tanto, el ancho del logo, al escalarlo, deberá ser de 204 unidades, y si queremos saber su altura, usaremos la fórmula inversa, que nos dará como resultado 125.475 unidades.

El resultado, visualmente, sería el siguiente: 

¿Y por qué digo que ambas figuras están en proporción?: Porque ambas tienen la mísma área:

(160 x 160) = (204 x 125.475) = (25,600)

Este es todo el punto de la fórmula, esa era mi hipótesis: Si encontramos un rectángulo que tenga la misma área que un cuadrado que se toma como referencia, tendrá el mismo peso visual.

Ahora bien, aquí va lo que dije que mencionaría después: Aunque cuadrar las áreas es una solución bastante satisfactoria en la mayoría de los casos, no siempre el resultado final es idoneo y puede requerir una compensación manual, esto se debe, más que nada, a que la mayoría de los logos (y otros tipos de gráficos) no tienen un contorno rectangular, sino que tienen distintas formas complejas que no cubren la totalidad del área máxima de sus medidas, de modo que su "peso visual" no es el mismo que el de un rectángulo.

Sin embargo, calcular las áreas exactas sería demasiado complejo y tomaría mucho tiempo (saldría más caro el caldo que las albóndigas), pero la fórmulita que les comparto me resultó bastante práctica y, de que menos, me ha arrojado aproximaciones bastante útiles, sobre todo cuando la proporción entre el alto y ancho de los gráficos es muy dispar, porque en esos casos es más difícil hacer el escalado al tanteo.

La Fórmula

Por último, explicaré de donde saqué esta fórmula. En realidad, para alguien que recuerde el álgebra de la preparatoria es una operación sencilla, pero sé que a los diseñadores gráficos nos suelen costar trabajo estas cosas, así que aquí va la explicación con "palitos y bolitas" para quien la quiera leer.

Partimos de la pregunta inicial que era: ¿Cómo obtengo un rectángulo, con cierta proporción, que tenga la misma área que un cuadrado dado? El área de un rectángulo o un cuadrado se obtiene multiplicando su base por su altura aunque, como en un cuadrado todos los lados miden lo mismo, podemos elevar al cuadrado la longitud de uno de sus lados para obtener su área. Así que entonces tenemos: 

Desconozco cuanto miden a' y b', pero en este caso, x es un dato que sí conozco, pero para poder encontrar el tamaño de los lados del rectángulo, hay que resolver las incógnitas de una en una. Para ello, recordemos que los valores iniciales del rectángulo son a y b, mientras que los valores finales serán a' y b'.

Si, por ejemplo, tuvieramos que las medidas originales son a = 400 y b = 200, resulta claro que a mide el doble que b, y por lo tanto: a/b = 2 y b/a = 0.5 y si hacemos la operación inversa obtendremos de nuevo el valor inicial. Por lo tanto, podemos decir que:

Y esto nos sirve porque aunque desconozco la medida de los lados, sé que la proporción entre estos no cambia al escalar el rectángulo. Es decir: a/b = a'/b' y b/a = b'/a' así que usaré las medidas originales de mi logo para obtener esa proporción y poder despejar uno de los lados.

De esta manera, ya puedo sustituir términos en la expresión inicial, para ir buscando la longitud de uno de sus lados, quedando de la siguiente manera:

O lo que es lo mismo (reordenando los factores):

Entonces, dependiendo de qué lado queramos resolver primero, vamos a despejar (a/b) o (b/a), según corresponda, y como el término estaba multiplicando, pasa dividiendo:

Luego, habrá que sacar raiz cuadrada a ambos lados de la ecuación para que nuestra incógnita nos quede sola, a la izquierda del signo de igual.

Y ya por último, solo para mayor comodidad, como tenemos "división entre división", eliminamos una de ellas y eso se logra con solo invirtir el orden de b y a... y ¡voilà!

También, en lugar de (x^2)•(a/b) podría ser (x^2•a)/b. Eso ya queda a elección de cada quien. 

Y este fue mi debraye sobre cómo utilizar un poco de álgebra básica para resolver un pequeño problema de diseño.