En efecto, Sinuhé, ¡tu respuesta es correcta!. No lo había contestado antes por si alguien mas daba otra respuesta distinta, pero ya les di mucho chance de comentar y nadie más dijo nada. Para complementarlo (y no desperdiciar la imagen que hice >.<) veamos una explicación gráfica: 
En resumen, lo único que sucede es que uno de los catetos será una arista del politopo y por lo tanto valdrá “1”, mientras que el otro es la diagonal del politopo de medida ‘n-1’. Y claro, la proporción en las medidas permanece aunque la longitud del lado cambie, por lo tanto, para conocer la longitud de la diagonal de cualquier politopo de medida bastará multiplicar la longitud de una de sus aristas por la raíz cuadrada de ‘n’. Por ejemplo, para saber cual es el tamaño de la diagonal de un cubo que mide 5 unidades por lado, simplemente hay que multiplicar esta cantidad por la raíz cuadrada de 3, lo que nos da como resultado un poco mas de 8.66 unidades de longitud.
Y ahora si… terminemos con esto.
Básicamente, lo que tenía pendiente para este post eran tablas y series de números que me puse a sacar en varios ratos de ocio y que corresponden a relaciones entre los distintos n-lados de los diferentes Politopos de Medida, pero también, desde que comencé a escribir sobre Politopos 4D, me quedó la preocupación de si mi explicación sobre la estructura del Teseracto era suficientemente clara y si se entendía el por que de la representación de 8 cubos al desdoblarlo, así que intentaré encauzar la información restante de manera que ayude a visualizar mejor este objeto y despejar cualquier duda que haya quedado sin sobrecargarlos de datos abstractos. Aunque eso si, para explicaciones mas detalladas y profundas, acudan con un matemático de verdad >_<. De hecho, si yo hubiera hecho lo mismo, seguramente hubiera avanzado mas rápido y aprendido mucho mas, pero lo quise tomar como reto personal y ver que tan lejos podía llegar con mis conocimientos básicos. Ahora bien, de entrada, repasemos y revisemos como están interconectados y relacionados los elementos básicos de un Teseracto:
Las líneas, puntos y caras de un mismo color, indican la convergencia de los cubos que componen la figura, así que para visualizarlo, habría que plegar los cubos unos contra los otros de forma que los elementos del mismo color coincidan. Es decir, los 4 vértices azules, aunque aquí están en posiciones diferentes, al momento de construir el teseracto, en realidad son uno solo. Por supuesto, esta operación no puede efectuarse en tres dimensiones, sino solo en cuatro (al menos, no sin deformar los cubos). Lo mismo pasa con las aristas y las caras cuadradas, lo cual, si se fijan, muestra una relación interesante, que creo que ya había mencionado anteriormente: la cantidad de cubos que coinciden en cada lado 0D (vértice) es igual a 4 (0+4=‘n’). A su vez, la cantidad de cubos que coinciden en cada lado 1D (aristas) es igual a 3 (1+3=’n’) y la cantidad de cubos que coinciden en cada lado 2D (caras) es igual a 2 (2+2=’n’).En general, así como en un cuadrado un punto une 2 aristas y en un cubo cada arista une dos caras, en un teseracto, cada cara une 2 celdas (cada ‘n-2’ une dos ‘n-1’).
Ahora veámoslo en movimiento:
También pueden ver una versión GIF, directamente desde Wikipedia
No sé si les pase lo mismo, pero la primera vez que vi esta animación solo contaba 7 cubos. Entendía que el cubo central es el primero y había otros 6 adyacentes a cada una de sus caras pero no comprendía muy bien a donde se iba el 8vo. En realidad, este último es el envoltorio de todos el conjunto, solo que lo que lo que parecen ser caras externas, en realidad son sus caras interiores. Esta proyección en perspectiva es conocida como Diagrama de Schlegel.
También podemos utilizar otros métodos de proyección para visualizar los 8 cubos, como la representación estereográfica que puse en el post pasado, o el correspondiente Polígono de Petrie… el cual, sospechosamente se parece a una estrella de 8 puntas... ¬_¬
O si lo prefieren, pueden ver aquí una imagen en la que se marcan todas las caras cuadrangulares del Teseracto y pueden ubicarse los cubos con relativa facilidad.Moviéndose en el Teseracto
Quise mostrar como están relacionados tridimensionalmente los espacios cúbicos de un teseracto con esta imagen:
... pero luego encontré un video que lo ilustra mejor y que muestra el desplazamiento de una figura a través de las celdas cúbicas.Pero ¡ojo!, este es un desplazamiento puramente tridimensional, ya que si nos moviéramos en 4 dimensiones, podríamos desplazarnos de una posición a otra con mucho mayor libertad. Esto es como si solo nos moviéramos por las caras exteriores de un cubo. En realidad, nunca estaríamos desplazándonos dentro de él.
Relación entre Vértices [Lados 0D]
Solo para dar por concluido este punto, subrayaré que el número total de vértices de cualquier PdM siempre es igual a 2^n, lo cual no solo aplica a los Politopos de 0D a 4D, sino de cualquier número de dimensiones… 5, 10, 20, etc… y como ya se comentó, en cada uno de estos vértices convergerán una cantidad de aristas y una cantidad de lados n-1 igual a ‘n’. Como ejemplo, en el caso de un cubo, en cada vértice convergen 3 aristas, y 3 caras cuadrangulares. En el caso del teseracto, en cada vértice convergen 4 aristas, además de 6 caras cuadrangulares y 4 celdas cúbicas.
Relación entre Aristas [Lados 1D]
En cada arista de un PdM convergen una cantidad n-1 de lados n-1. En el caso de un cubo esto no tiene mayor complicación, pues en cada arista coinciden dos caras, pero en un teseracto, en cada Arista coinciden 3 Caras cuadrangulares.
Teniendo dos o más dimensiones, cada arista tendrá al menos una paralela, dependiendo de las combinaciones de los ejes existentes:
Cuadrado
2 líneas en X [x, x’], 2 líneas en Y [y, y’]
Cubo
4 Lineas en X [yz, yz’, y’z, y’z’]
4 Líneas en Y [xz, xz’, x’z, x’z’]
4 Líneas en Z [xy, xy’, x’y, x’y’]
Teseracto
8 líneas en W [xyz, xyz’, xy’z, xy’z’, x’yz, x’yz’, x’y’z, x’y’z’]
8 líneas en X [wyz, wyz’, wy’z, wy’z’, w’yz, w’yz’, w’y’z, w’y’z’]
8 líneas en Y [wxz, wxz’, wx’z, wx’z’, w’xz, w’xz’, w’x’z, w’x’z’]
8 líneas en Z [wxy, wxy’, wx’y, wx’y’, w’xy, w’xy’, w’x’y, w’x’y’]
En total, la cantidad total de aristas de un PdM es 2^(n-1)*n, de manera que tendremos los siguientes valores:
0D: 0
1D: 1
2D: 4
3D: 12
4D: 32
5D: 80
6D: 192
...
1D: 1
2D: 4
3D: 12
4D: 32
5D: 80
6D: 192
...
Relación entre Caras [Lados 2D]
A partir del PdM 3D (es decir, el cubo) tenemos múltiples caras 2D. Como ya vimos, cada una de las caras de un cubo colinda con otras 4, y como en total son 6 cuadrados, significa que siempre habrá una cara que no será adyacente a otra, las cuales son opuestas [paralelas]. Es decir, que habrá 3 pares de caras.2 caras en x [x, x’]
2 caras en y [y, y’]
2 caras en z [z, z’]
En el teseracto, las cosas son un poco más complejas. Aun así, para efectos prácticos, podemos organizar sus caras en grupos de 4, distribuidas en 6 combinaciones de ejes:
4 en wx [wx, wx’, w’x, w’x’]
4 en wy [wy, wy’, w’y, w’y’]
4 en wz [wz, wz’, w’z, w’z’]
4 en xy [xy, xy’, x’y, x’y’]
4 en xz [xz, xz’, x’z, x’z’]
4 en yz [yz, yz’, y’z, y’z’]
Siguiendo esta lógica, los números de caras para PdM de 5D y 6D serían '80' y '240' respectivamente. Inútilmente intenté deducir la ecuación para representar esta secuencia de valores (0, 0, 1, 6, 24, 80, 240…) me puse a investigar y me topé con esto, sin embargo, no pude entender de donde salía la secuencia de números XD, pero justo cuando me estaba dando por vencido, Askot me pasó esta dirección en la que venía el dato que buscaba: 2^(n-3)*n*(n-1). ¡Gracias!
¿Relación entre Celdas [Lados 3D]?
Aparte de lo que ya he expuesto al respecto, no tengo más que agregar en este punto. Si acaso, mencionar que según lo que encontré, el número de lados 3D de cada PdM es igual a 2^(n-4)*n*(n-1)*(n-2)/3. Definitivamente hay mas datos y relaciones interesantes que podemos encontrar, pero para ello habría que analizar Politopos de 5 Dimensiones en adelante, lo cual, decidí dejar para otra ocasión.
Por último, les dejo una tabla con los valores del número de lados de cada Politopo de Medida
… y algunas direcciones interesantes relacionadas:http://eusebeia.dyndns.org/4d/index.html
http://dogfeathers.com/java/hyprcube.html
http://darkwing.uoregon.edu/~koch/java/FourD.html
Nota: Si notan cualquier error o impresición, no duden en hacérmelo saber. Gracias
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