De la Geometría Básica a los Politopos Regulares Convexos (Parte 3 de 4)

¡¡¡¡Ooooooh si!!!! … ha llegado el momento de hablar de la Tercera Dimensión, pero… (¡maldita sea ¿no puede dejar de haber siempre un ‘pero’?) Antes de entrar de lleno en materia es necesario entender un par de conceptos.

Politopos Duales

La vez anterior, quedó pendiente explicar la relación entre los ‘politopos de cruce’ y los ‘politopos de medida’, que si bien, no es primordial para lo que estamos viendo, no está de más mencionarlo y es muy sencillo de entender.

Esta es una relación reciproca, por ello, al conjunto de los Politopos que guardan esta relación mutua se le denomina ‘Politopo Dual’ o 'Conjugado'. Esto significa que podemos colocar uno de los Politopos dentro del otro, de modo que cada vértice de uno de estos corresponda al centro de cada ‘lado’ “n-1” del contrario… en el caso del 2D, esta apreciación podría parecer incluso ociosa, ya que el ‘Polígono de Cruce’ y el ‘Polígono de Medida’ son técnicamente la misma figura, únicamente diferenciados por una rotación de 45°. Ambos se componen de 4 Vértices y 4 Bordes formando ángulos rectos, y por lo tanto no hay mayor complicación. Sin embargo, (como ya Izcoatl lo adelantó), al trabajar con objetos 3D nos daremos cuenta que los respectivos Politopos ya no son iguales, pero mantienen esta relación.

Esta regla de ‘dualidad’ no nos limita en cuanto a rotar o escalar uniformemente nuestros objetos. En ese sentido, el Cuadrado es a la vez un Politopo de cruce y de medida, así que lo que hicimos no fue más que colocar un Cuadrado dentro de otro. Cuando la misma figura puede ser ‘conjugada’ consigo misma, se dice que es ‘auto-dual’. Muchos polígonos regulares tienen esta característica, e igual pasa con ciertos objetos 3D. Sin embargo, lo que quiero resaltar es que un Politopo de Medida siempre es el Politopo Dual de uno de Cruce (y viceversa) aunque sean figuras distintas, y de igual modo, los Simplex siempre son ‘auto-duales’.

¡Aaaah, Verdad!

Proyecciones

¿Se acuerdan de la tercera regla que establecimos? Es la que dice que un espacio solo puede contener objetos de igual o menor número de dimensiones que el espacio mismo, pero no más. Por lo tanto, un Espacio 2D puede contener Objetos 2D, Objetos 1D y Objetos 0D, pero no Objetos 3D… entonces ¿Cómo %$#&! Vamos a explicar eso mediante un monitor que solo proyecta información en 2D?.

Parecería que me estoy ahogando en un vaso de agua y que no es necesario darle vueltas a este asunto, pero quiero enfatizarlo ahora que es sencillo de entender porque nos servirá de mucho para comprender lo que veremos en el 4° y último post.

¿Qué tienen en común estos dos polígonos?
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Supongo que algunos ya saben hacia donde voy, pero si aun no les queda claro aun, vean las siguientes figuras:

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¿Aun no? ¡Válgame Dios! A ver si con estas:

¡Ahhh, Claro! (Seguramente dirán algunos) ¡Es un cubo!

Pues… si, pero no… en realidad no es un cubo sino una serie de representaciones bidimensionales de dicho objeto tridimensional. Al vivir en un Mundo 3D pero tener un sentido de la Vista 2D hemos aprendido a interpretar ciertas imágenes y ‘darles volumen mentalmente’, y estamos tan acostumbrados a estas ‘representaciones’ que podemos llegar a reconocer como objetos tridimensionales incluso las imágenes que ni siquiera tienen marcados bordes, sombreado o transparencia. El nombre formal de estas representaciones es ‘Proyecciones’ y será con lo que trabajaremos a partir de ahora que empezaremos a tratar con objetos 3D.

De modo que podemos formular una 4ta. Regla que usaremos:

4. Aunque un espacio de ‘n’ dimensiones no puede contener objetos con mas dimensiones que el propio espacio, podemos hacer ‘proyecciones’ del objeto; es decir, una representación simplificada.

Pero además, es imprescindible notar que aunque todas esas proyecciones de arriba representan el mismo cubo, y la mayoría son polígonos de 6 lados, todos son diferentes y que incluso, hay una proyección de tan solo 4 lados. Es decir, un objeto 3D puede tener innumerables formas de proyectarse en un espacio 2D (dependiendo de su complejidad). Cada proyección es equivalente a la sombra del objeto iluminado desde una posición distinta y/o a realizar un corte transversal de dicho objeto en diferente ángulo y posición.

¡¡Yeeeeah!! ¡A esto me refería!

El área encargada de este amplio tema es la Geometría Descriptiva, la cual nos dice que existen diferentes tipos de proyecciones y que pueden ser, ya sea cónicas o paralelas, cada una con sus ventajas y desventajas, pues al ser solo representaciones y no los verdaderos Objetos 3D, es inevitable perder parte de la información, por lo que muchas veces se usan de manera complementaria. Por ahora, no entraremos en más detalles porque no se trata de esto el post; basta decir que para los gráficos de este post usaré lo que en dibujo técnico se denomina Perspectiva Caballera.

…Y es que debido a esa ‘limitación’ de nuestra vista de trabajar solo en 2D, es imposible ver simultáneamente toda la superficie de un Objeto 3D por muy sencillo que este sea; de modo que aun teniendo el objeto a nuestro alcance, si queremos conocerlo en su totalidad necesitaremos moverlo, movernos alrededor de él… o en su defecto, ver diferentes proyecciones del mismo. Aun en objetos sencillos, como un Cubo, podríamos suponer lo que hay en las partes ocultas, pero ¿Qué tal si no es realmente un cubo? ¿Qué tal si tiene una parte achatada o redondeada?… no podemos tener la certeza hasta que volteemos a ese lado. Esto implica que como seres humanos, no podemos realmente percibir volumen sin movimiento, es decir, sin tiempo… pero esa es harina de otro costal, así que no nos perdamos.

3D

Ahora si, ¡a lo que te truje, Chencha!

Escribir acerca de Espacios y Objetos 0D, 1D y 2D no fue precisamente por ser algo desconocido o difícil de entender, pero tampoco para perder el tiempo, sino porque más que dar definiciones, lo que me interesa es establecer relaciones entre los objetos mencionados y resaltar ciertos aspectos de su naturaleza, pero para ello es necesario tener claros algunos conceptos y homogeneizar términos; o sea, no dejar huecos para no tener que andarnos regresando a explicar cosas… pero ya llegamos al Espacio 3D y con ello, nos aproximamos a lo que realmente quería tratar y como ya muchas cosas se explicaron, podemos abordar los conceptos de esta ocasión de manera muy ágil.

Así como el desplazamiento de una línea genera un plano, desplazar un plano en dirección perpendicular a si mismo nos generará un volumen. De este modo, se completan las tres dimensiones del espacio en el que existimos: “Longitud”, “Profundidad” y “Altura”. Que de manera abstracta se denominan con las letras ‘x’, ‘y’, ‘z’ respectivamente.

Igual, si el volumen se extiende indefinidamente, estamos hablando de un Espacio 3D, y si este volumen es limitado (en cualquier forma), estamos hablando de un Objeto… Ahora bien, que si de por sí, la cantidad de variantes en un Espacio 2D es prácticamente ilimitada, en un Espacio 3D es además mucho mas versátil y compleja.

Para ubicar objetos en un espacio 3D también se utiliza un sistema cartesiano, pero obviamente, compuesto por tres ejes (ya no un plano) que se unen en el origen, y por lo tanto, la posición de cada punto constará de tres valores (x, y, z). Como en el monitor no podemos representarlo directamente, requerimos una ‘proyección’: Una línea horizontal representará el eje ‘x’, una línea vertical el eje 'z' y una línea inclinada nos servirá para indicar el eje 'y'. En ciertos casos, esta designación puede cambiar, pero esta es la forma más común y la que utilizaremos. Con este sistema, ya podremos trazar nuestros ‘Politopos 3D’, los cuales son mejor conocidos con el nombre de “Poliedros”.

Retomando nuestra primer regla; como únicamente estamos manejando Politopos, es muy fácil ubicar los ‘objetos simples’ a partir de los cuales construimos nuestros ‘objetos más complejos’, es decir, los Vértices [0D] y Bordes (también llamados ‘Aristas’) [1D], y en el caso de los Poliedros, estos contienen, además, ‘áreas planas’ a las que habitualmente llamamos ‘Caras’.

Una forma más abstracta y práctica de denominar a estos elementos es llamarle “Lados ‘n’-dimensionales”; es decir, que un Punto o Vértice sería un “Lado 0D”; a un Segmento, Borde o Arista, le podemos llamar “Lado 1D” y cada Cara de un poliedro sería un “Lado 2D”. De hecho, muchos autores prefieren los términos “Cara 0D”, “Cara 1D” y “Cara 2D” respectivamente; pero para evitarnos confusiones, utilicemos la palabra ‘Lado’.

Con esto, ya tenemos parte importante de la definición de cada Politopo que consiste en la cantidad de ‘Lados’ de cada dimensión que posee. En el caso de los Polígonos que ya vimos, sería:

Ahora si, pasemos a revisar cuales serían sus respectivas versiones 3D (Poliedros).

Simplex 3D

Como bien adelantó Izcoatl, el Simplex 3D es lo que se conoce como Tetraedro Regular. El cual, se construye a partir de 4 Vértices ([n=3]+1) y contiene 6 Aristas (todas de la misma longitud), y 4 Caras (que en este caso, son triángulos equiláteros), de ahí el nombre. Es el poliedro más sencillo que se puede construir. Se dice que para construir un Simplex en ‘n’ dimensiones, basta tomar un Simplex de ‘n-1’, añadir un vértice y conectarlo al resto con aristas del mismo tamaño que las ya existentes. En este caso, tomaríamos un triángulo y añadiríamos un nuevo vértice que conectaríamos al resto. El resultado: sus 4 Caras serían iguales al Triángulo del que se partió, y su Proyección en 2D se vería más o menos así:

O en términos ‘frikis’, así:

Ortoplex 3D

El Poliedro de Cruce es, en efecto, lo que se denomina Octaedro Regular, pues a las permutaciones ‘±1’ sobre los ejes ‘x’, ‘y’ se agregan las del eje ‘z’, dándonos como resultado: {(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)}, un total de 6 Vértices o ‘Lados 0D’ , y en consecuencia contiene 12 Aristas o ‘Lados 1D’ y 8 Caras o ‘Lados 2D’ en forma de triángulos equiláteros... de ahí el nombre de Octaedro Regular.

Politopo De Medida 3D

Y por último, como ya se había mencionado, el Poliedro de Medida, es el Cubo, también llamado Hexaedro Regular, ya que tiene 6 Caras (Lados 2D), además de 12 ‘Lados 1D’ y 8 ‘Lados 0D’.

De esta manera, se cumple la regla (¡ahora sí!) de que la cantidad de 'Lados 2D' del Cubo es igual al número de 'Lados 0D' del Octaedro y viceversa.

Y ya con todo lo visto hasta este momento, tenemos información suficiente para llenar la siguiente tabla con la información básica de las figuras revisadas.

Y hasta aquí le dejo por hoy… porque yo ya me cansé de escribir y andar haciendo figuritas y tablas... y seguramente ustedes ya se cansaron de leer. Quería incluir un poco más de información, pero mejor la dejaré para la próxima (y sirve que lo redacto más despejado), al cabo ya falta muy poco... De hecho, espero no defraudar sus expectativas con el último post ya que en realidad, lo más pesado ya lo expuse, y la conclusión tal vez no sea tan espectacular como Izcoatl lo manifestó en su comentario.

Lo que pasa es, que en realidad, de lo que yo quería escribir apenas lo escribiré en el último post, y en esencia es algo sencillo. Tal vez la hice demasiado 'de emoción', pero creo que no tendría sentido abordarlo sin comprender lo que ya vimos, pues es el punto en el que toda esta información converge y en ese sentido, sería un poco como las historias japonesas, donde lo importante no es solo el destino sino apreciar el camino recorrido (lo cual, muchas veces no es más que una forma elegante de decir que 'tienen finales malos'… no estoy diciendo que este sea el caso… espero)

Como adelanto, les dejo esta imagen para que sepan o se den una idea de en que va a concluir esto…

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