De la Geometría Básica a los Politopos Regulares Convexos (Parte 2 de 4)

Al llegar al 2D las cosas se comienzan a poner interesantes. En primer lugar, porque la simple adición de una segunda dimensión eleva al infinito las posibilidades (sería inútil tratar de enumerar todas las variantes en cuanto a formas y figuras que se pueden trazar y construir en este tipo de espacios). Pero además, porque aunque vivimos en un mundo físico tridimensional, tenemos un alto grado de interacción con objetos cotidianos que manejan y transmiten información primordialmente en dos dimensiones, es decir, en plano (las hojas de un cuaderno, la pantalla del cine, o el monitor de la computadora en la que estás leyendo esto).

Esto se debe no solo a la versatilidad del 2D ya mencionada, sino a nuestra propia naturaleza, ya que el sentido de la vista tiene una relevancia particular en la comunicación humana tanto a nivel especie como a nivel sociedad; un sentido que, estrictamente hablando, funciona de manera bidimensional. Es decir, aunque tener dos ojos y la capacidad de enfoque nos permite a triangular posiciones y percibir profundidad, lo que realmente recibe nuestro cerebro es una consecución de pares de imágenes estáticas en 2D, que posteriormente son procesadas e interpretadas, así que estamos mas que habituados a manejar información en este 'formato' … pero esa, es otra historia.

2D

Así como la línea recta es considerada el desplazamiento de un punto, si nosotros desplazamos una recta en una trayectoria perpendicular a si misma, generaremos un Plano, es decir un objeto/espacio 2D. De este modo, tendremos ya no solo 'longitud,' sino también 'anchura', que en conjunto forman lo que conocemos como 'Área'. Igual que en el caso de la línea, si el plano se extiende indefinidamente estamos hablando de un espacio 2D, pero si es un área delimitada de (cualquier manera), entonces es solo un objeto 2D.

Un objeto ideal en 2D, en teoría si podría ser visualizado desde muchos ángulos, pero tampoco existe realmente en nuestro mundo, ya que para que lo fuera debería tener únicamente ‘largo’ y ‘ancho’, pero no tener volumen (profundidad) en absoluto…. No, ¡nada!… ni tantito. Ni siquiera una milésima o la millonésima parte de un milímetro…. ¡Nop!

Los que saben de estas cosas suelen denominar a estas dos dimensiones con las letras ’x’, ‘y’. Para ubicar cualquier posición en un espacio bidimensional también se requiere definir un ‘Origen’ y una unidad de medición, pero en este caso, por obvias razones, cada posición constará de dos valores, uno en ‘x’ y otro en ‘y’. Para facilitar las cosas se suelen trazar dos ‘ejes’ respectivos que se cruzan de manera perpendicular en el Origen y que a su vez, subdividen este espacio 2D en 4 sectores o Cuadrantes… a esta estructura, los matemáticos le llaman Plano Cartesiano.

Descubrir y describir la naturaleza de todas la formas y figuras que pueden existir en un Espacio 2D le ha tomado a la humanidad miles de años y generado incontables volúmenes de información; que por supuesto, sería inútil y absurdo intentar abarcar en este post. De hecho, mi intención es solo hablar de ciertos objetos básicos y sus propiedades... pero antes de entrar de lleno al tema, es necesario retomar y complementar algunos conceptos ya mencionados.

En el primer principio básico del la vez anterior utilicé la letra ‘n’ para representar el número de dimensiones de un espacio o de un objeto. De este modo, podemos decir que un espacio bidimensional es un espacio en el que n=2, un punto es un objeto de n=0 y una línea de n=1.

Si lo recuerdan, este principio decía que cualquier objeto de ‘n’ dimensiones se construye a partir de objetos más sencillos (cuya ‘n’ sea menor), lo cual quiere decir, que para trazar un segmento (n=1), necesitamos conocer al menos la ubicación de los 2 puntos (n=0) que lo delimitan. Del mismo modo, para trazar objetos 2D solemos partir de objetos 1D (líneas) y de objetos 0D (puntos)… al menos en este casó, así es como vamos a hacerlo.

Tomando en cuenta lo anterior, podemos concluir un tercer principio básico.

3. Todos los espacios n-dimensionales pueden contener (y contienen) cualquier cantidad de objetos, siempre y cuando estos sean de un número de dimensiones, igual o menor al espacio en el que están contenidos. Es decir, que en un Espacio 1D pueden existir (y existen) infinidad de objetos de una dimensión (segmentos) y de cero dimensiones (puntos), pero obviamente, no puede contener Objetos 2D.

Una vez aclarado esto, entremos en materia y expliquemos de una vez por todas que es eso de los Politopos Regulares Convexos.

El termino Politopo abarca una gran variedad de objetos de cualquier cantidad de dimensiones, cuya característica común es que están delimitados por puntos unidos únicamente por líneas rectas. (Lo sé, hablar de ‘curvas’ puede ser deliciosamente fascinante, pero eso lo dejaremos para otro tipo de temas. Además, al menos para este post, trabajar solo con rectas nos ahorrará complicaciones innecesarias y nos facilitará comprender la información). Para muchos, la palabra Politopos les sonará extraña y no los culpo, ya que solo la usan los nerds (como yo :P). Comunmente se les denomina con distintos términos, dependiendo del número de dimensiones que posea el objeto. ¿Siguen sin entender? Bueno, seguramente su confusión se despejará una vez que les diga que a los Politopos de Dos Dimensiones se les llama Polígonos. Ahora si, regrésense y lean de nuevo este párrafo y le entenderán... Y si no saben lo que es un Polígono, de plano regrésense a la primaria o ya de perdido consulten la Wikipedia.


Son Regulares por definición cuando poseen un alto grado de simetría (bilateral, radial, etc…) y se les llama Convexos a los objetos en los que cualesquiera de los puntos contenidos dentro de ellos pueden ser conectados con un segmento de recta sin que este salga del perímetro, (como quien dice, sin que se salga de la cancha) y a su vez, esto implica que ninguna tangente de su perímetro cruzará el interior de la figura. (ver también ‘Envoltura Convexa’).

Ok, ok... no expliqué que es una Tangente, un Perímetro, o que significa Simetría pero si lo hago nunca llegaría a donde quiero llegar, así que si no lo saben, consúltenlo ustedes mismos. Como sea, les estoy poniendo "dibujitos" para que me entiendan mejor.


Según Wikipedia, los Politopos Convexos “también pueden representarse como la intersección de hemiespacios” la cual se puede escribir “como la desigualdad matricial , donde A es una matriz de n por m, con n el número de hemiespacios y m el número de dimensiones del politopo, y b un vector de n por 1 columna. Los coeficientes de cada fila de A y b se corresponden con los coeficientes de la desigualdad lienal que define al respectivo hemiespacio. En consecuencia, cada fila de la matriz se corresponde con uno de los hiperplanos que delimitan el politopo”.

No se preocupen, yo tampoco le entendí... así que para no hacernos mas bolas, expliquémoslo con "manzanitas y naranjas"…

Aun entre los Politopos Regulares Convexos existen muchos tipos y variedades, así que me enfocaré únicamente a tres categorías básica con las que trabajaremos de ahora en adelante:

A) Simplex (Simplejos).
B) Politopos de Cruce (Ortoplex).
C) Politopos de Medida.

En teoría, estos tres tipos de objetos pueden existir en cualquier número de dimensiones, pero en espacios 0D o 1D el resultado es indiferenciable (obtendríamos un punto y un segmento, respectívamente), por eso me esperé a llegar al 2D para explicar en que consisten.

Ahora bien, para hacer esta explicación menos chambona, actualicemos nuestra nomenclatura.

- A los Puntos (n=0) que nos servirán como posiciones básicas de construcción para trazar nuestros Politopos les llamaremos Vértices.

- A las Líneas o Segmentos (n=1) que unirán entre sí a estos puntos les nombraremos Bordes.

El Simplex es el Politopo Regular más sencillo que puede trazarse para cada número de dimensiones dadas. En el caso del 2D, es el polígono regular más sencillo de todos: el Triángulo (en este caso, equilátero), ya que no se puede construir ningún objeto con menos de tres Vértices unidos por rectas y que además tenga área (A su vez, cualquier polígono puede descomponerse en triángulos). Como regla, el número de Vértices de un Simplex siempre es igual a n+1. Ejemplificando: Si nuestro espacio fuera unidimensional, la cantidad de vértices que contendría su respectivo Simplex sería 2 ([n=1]+1]), es decir, un segmento que uniría ambos puntos. Del mismo modo, el Simplex correspondiente a un espacio 2D posee 3 Vértices ([n=2]+1), es decir, el Triángulo que ya mencionamos. Todos los vértices están unidos entre si por rectas (bordes). En este caso solo tenemos tres vértices, así que solo se pueden trazar tres Bordes (a-b, b-c, c-a).


El Politopo de Cruce (Ortoplex), es el que se traza a partir de un punto de origen y se completa añadiendo Vertices a partir de todas las posibles permutaciones ‘±1’ de cada eje de dicho espacio n-dimensional, los cuales se unen con líneas rectas para formar los Bordes. Es decir. Si colocamos como referencia un punto en un espacio 1D, uno de los Vértices de la figura estará a una distancia en 'x' de +1 del punto de referencia, o sea, a una unidad hacia la derecha; y el otro estará a una distancia en 'x' de –1, o sea, hacia la izquierda. ¿El resultado? Claro, un Segmento… pero cuando lo trazamos en un Espacio 2D, tenemos que, a partir del punto de referencia podemos ubicar 4 vértices, uno estará en ‘0,1’, otro en ‘0,-1’, otro en ‘1,0’ y el último en ‘-1, 0’, que expresado de manera mas formal sería: {(±1,0),(0, ±1)} y la figura resultante es un Rombo (o cuadrado rotado 45° si se ponen muy exigentes). Como regla, tenemos que el número de total de Vértices de este tipo de un Politopo de Cruce siempre es igual a 2·n (por lo tanto, siempre es un número par).


Y para concluir, tenemos el Politopo de Medida. Se caracteriza por poseer segmentos paralelos opuestos, alineados en cada una de las dimensiones en las que se construye; todos sus Bordes son de la misma longitud y todos sus ángulos son rectos. Esto se debe a que se obtiene a partir del desplazamiento perpendicular y equidistante de su equivalente en n-1 dimensiones. En otras palabras, esto es lo mismo que cuando explicamos como al desplazar un punto se obtiene una línea y al desplazar una línea obtenemos un plano... Si este desplazamiento es limitado y de la misma magnitud en cada eje, automáticamente obtenemos un Politopo de Medida. Es decir, si movemos un punto sobre un espacio unidimensional (eje x) una determinada distancia obtenemos obviamente un segmento, pero ¿que obtenemos si desplazamos ese segmento la misma distancia pero en una segunda dimensión (eje y)? ¡Exacto!: Un Cuadrado. Ese es el Politopo de Medida de Dos Dimensiones. Viendolo así, los Polítopos de Medida son tal vez los objetos mas básicos y representativos al intentar explicar la naturaleza y complejidad de los espacios de diferentes dimensiones y son el motivo principal por el que estoy aquí dedicándole tanto tiempo a estos post (¡Aaaah! ¡¡¡¡son tan belllos!!!!).


Por último, la cantidad total de Bordes de estos Politopos [siempre y cuando tengan dos o más dimensiones] es siempre igual a 2·n (por lo tanto, es un numero par). ¡Momeeeento! Permítanme, pero discúlpenme, pero Izcoatl tiene razón, ¡esto está mal!... Esta relación es cierta en los Politopos de Medida 2D (Cuadrado) pero no en otros casos, porque no se refiere precisamente a los 'bordes' sino a los límites de tipo 'n-1', de cualquier politopo de medida... En cristiano, esto quiere decir que si un cuadrado es un Objeto 2D, la regla de 2.n aplicará a sus elementos de 'n-1' ([n=2]-1), es decir, a los Objetos 1D, o sea, a los bordes o líneas... pero en un objeto 3D aplica a sus caras planas... pero ya me estoy adelantando... esa explicación es para la tercera parte.

Si se fijaron, la última parte de la definición de los Politopos de Cruce y de la de los Politopos de Medida tienen cierta similitud, lo que sugiere que entre ellos hay algún tipo de relación, pero para no abrumarlos más, dejaré hasta aquí el tema y esa explicación la guardaré para la siguiente ocasión.