De la Geometría Básica a los Politopos Regulares Convexos (Parte 1 de 4)

Hace varias semanas estuve leyendo y estudiando algunos conceptos que me parecieron muy interesantes y que me gustaría compartir con todos mis fans. Pero si entro directamente en materia puede ser confuso para quienes no estén muy familiarizados con estos temas.

Por lo tanto, decidí darles una introducción lo mas completa posible a todos mis lectores y lectoras, comenzando con la puntita del iceberg de este tema tan extenso, y una vez que se acostumbren y familiaricen con los términos básicos, entonces si, poderme ir hasta lo mas profundo y denso sin que les quede lugar a la menor duda. Y para que no se les haga tan duro ni tan cansado, se las iré soltando poco a poco, y así lo puedan digerir y disfrutar al leerlo tanto como yo al escribirlo.

¿Qué?... Estoy hablando de geometría ¿pues que me entendieron?.

0D

Todo comienza aquí:


Un punto.

Bueno, en realidad, no es un punto real sino la representación gráfica de un punto. Un punto ideal no puede ser visualizado o dibujado porque no tiene tamaño. No tiene dimensiones… en otras palabras, es un objeto de dimensión ‘0’. Simplemente es una posición en el espacio, y habitualmente utilizamos un sistema de coordenadas para conocer su ubicación en nuestro espacio tridimensional… pero en teoría, también podría existir un espacio de 0 dimensiones. En ese caso, no se necesitarían coordenadas porque este espacio no podría contener nada excepto un punto, y el punto en sí sería este espacio.

1D
De ahí, pasamos a los objetos y espacios de una dimensión.

Los objetos de una dimensión son líneas rectas. Una recta ideal, al igual que un punto, no puede ser visualizada, pero en este caso, si tendría un tamaño o medida, es decir, una dimensión: longitud.

Muchos definen la línea recta como la distancia mas corta entre dos puntos distintos, o bien, la trayectoria mas corta de desplazamiento de un punto desde una posición a otra. Sin embargo, una recta puede, en teoría, prolongarse indefinidamente en ambos sentidos sin que esté delimitada por dos puntos.

Para no confundirnos, ha llegado el momento de establecer una diferenciación entre ‘objeto 1D’ y ‘espacio 1D’.

Si la recta se prolonga hasta el infinito (y más allá…) entonces no podríamos medirla, por lo tanto, sería más bien un “Espacio Unidimensional”, “Espacio 1D” o “Espacio Lineal”. Si por el contrario, nos referimos a una línea con un inicio y un final definidos, estamos hablando de lo que en la escuela (para los que se acuerden) le llamaban ‘segmento’, es decir, un “Objeto Unidimensional”.


Ahora bien, la razón por la que estoy explicando estos términos tan básicos es para poder dejar claros algunos principios bastante simples y obvios pero que retomaré continuamente más adelante; y conforme avancemos, su aplicación se volverá, no más difícil, pero si más compleja. Los primeros dos principios son:

1. Cualquier objeto y espacio de ‘n’ dimensiones contiene, se compone, y se construye a partir de objetos mas simples, de una cantidad de dimensiones menor. Es decir, un Segmento (1D) contiene, se compone y se construye a partir de objetos de 0D, es decir, puntos.
2. De igual modo, cualquier objeto de una o mas dimensiones puede dividirse infinidad de veces en objetos más pequeños del mismo número de dimensiones. Por ejemplo, un Segmento (1D) puede subdividirse en 2, 3, 5, 10, 1,000 o más partes y todas seguirán siendo Segmentos (objetos 1D).

Volviendo a nuestro Espacio Lineal, aunque solo hay una dimensión, hay dos sentidos en los que podemos desplazar nuestros objetos (puntos o líneas). Alguien dijo que sería como tener un tren sobre una vía; solo podríamos avanzar o retroceder sobre la vía, pero no podemos siquiera girar sobre la misma (y descarrilarse no cuenta :P). A esta 'vía', es decir, a esta dimensión, le llamaremos 'x' y para poder ubicar y medir cualquier objeto en ella será necesario establecer una posición de referencia a la que llamaremos ‘origen’ y definir una unidad de medida.

De este modo, podemos ubicar cualquier punto contando a partir del origen, y añadiendo un signo (+ o -) para saber la dirección hacia la que habremos de contar. (Ej: Posición en x = -3.5). Para definir un segmento, basta con ubicar los dos puntos que lo delimitan, y la diferencia entre ambas posiciones será la medida o dimensión de dicho segmento, la cual es llamada ‘longitud’ (uuff! ¡Que complicado! :P).

Un ejemplo de ‘espacio’ que funciona en una dimensión (y además, un solo sentido) sería la Clave Morse, porque únicamente contiene líneas, puntos y espacios vacíos.